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2024甘肃公务考试高分技巧:如何求解不定方程

2024-02-04 09:30:41 甘肃公考考试网 //gs.huatu.com/gwy/ 关注公众号领资料   QQ备考群   APP刷题     文章来源:华图教育

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  一、基本概念

  所谓不定方程,是指未知数的个数多于方程个数,且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。古希腊著名数学家丢番图曾在其著作《算术》中介绍过关于不定方程,所以不定方程又叫丢番图方程。

  比如3x+2y=6,方程只有一个,但是未知数有两个,这就是不定方程。很明显,3x+2y=6的解不唯一,给出一个x就会相应地有一个y,x、y的取值可以有无数个。值得注意的是,我们这里介绍的不定方程,一般都会对其中的未知数进行条件限制,比如说上述不定方程中的x、y只能是自然数,这样我们可以根据限制的条件来求出不定方程的解。所以,解答这类方程,一定要找出题中明显或隐含的限制条件。具体地,我们根据例题来给大家讲解。

  二、典型例题

  【例1】设a,b均为正整数,且有等式11a+7b=132成立,则a的值为?( )

  A. 6 B. 4

  C. 3 D. 5

  【名师解析】这是一道不定方程问题。题目中对于未知数a、b给了限制条件,要求均为正整数,那么我们采用代入排除的方法来求解不定方程。即代入选项中a的数值,看求出来的b的是不是正整数,如果是即为正确答案,如果不是则要排除。比如说代入选项A,a=6,那么11×6+7b=132,7b=66,b不是正整数,所以排除A。依次类推排除B和C,对于选项D,a=5,那么11×5+7b=132,7b=77,b=11,满足题意,故本题答案为D选项。

  这个题我们是用代入排除法来求解的不定方程,这是在求解不定方程时的常用方法之一。对于这道题目,还可以利用数字特性来求解。132=11×12,则132是11的倍数,11a是11的倍数,那么7b一定是11的倍数,所以b=11,从而a=5,故本题答案为D选项。

  【例2】某儿童艺术培训中心有5名钢琴教师和6名拉丁舞教师,培训中心将所有的钢琴学员和拉丁舞学员共76人分别平均地分给各个老师带领,刚好能够分完,且每位老师所带的学生数量都是质数。后来由于学生人数减少,培训中心只保留了4名钢琴教师和3名拉丁舞教师,但每名教师所带的学生数量不变,那么目前培训中心还剩下学员多少人?( )

  A.36 B.37

  C.39 D.41

  【名师解析】由于钢琴学员和拉丁舞学员是平均分配给各个老师的,所以设每个钢琴教师带领x个学生,每个拉丁舞教师带领y个学生,可以得到不定方程5x+6y=76。根据奇偶特性,76是偶数,6y是偶数(偶数乘以任何数都得到偶数),那么5x一定是偶数,x一定是偶数。题目中说每位老师所带的学生数量都是质数,很多考生可能已经对于质数的概念忘得差不多了,在这里重新带着大家回顾一下。质数就是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的数,比如2、3、5、7等。在质数数列中,仅有一个偶数,那就是2,所以x=2,代入方程可以求得y=11。学生人数减少后,每位老师带的学生数量不变,那么剩下的学员数为4x+3y,代入x和y,得4×2+3×11=41,故本题答案为D选项。

  通过上面两道例题,希望各位考生能够掌握求解不定方程的几种方法,比如代入排除法和数字特性法。当然了,解不定方程的方法和技巧还有很多,希望各位考生能够多加练习,自己进行总结和归纳。如果有机会,我们会再次给大家讲解不定方程组的解题技巧和方法。

 

 
(编辑:shirui)
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