25国考行测技巧：集合之间的游戏——容斥问题

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       行测考试中，数量关系是必考题型，而容斥问题则是其中较为常见的一类题型，在每年的省考、国考、事业单位的考试中都频频出现，并且越来越倾向于思维性的考察，要引起大家的重视。

　　首先，给大家介绍一下“容斥问题”。把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理，应用容斥原理来解题就是容斥问题。容斥问题分2类题型：1，求定值;2，求极值。在历年的考试中，基本上都是考察求定值的问题，而求定值又分为“二者容斥”和“三者容斥”问题，考试中也基本只考察“三者容斥”。所以，今天就“三者容斥”求定值的方法，详细讲解如下：

　　一般来说，解题方法有两种：

　　1、 公式法：题干的数据可直接代入到二者、三者容斥的求值公式中。

　　三者容斥求定值公式：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC。

　　2、 文氏图法：当题干所给数据不能直接代入公式时，就需要利用该方法，进行思维性的理解进而解决问题。

　　例1：某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人?

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　【答案】B。解析：方法一：题干的数据可直接代入三者容斥的公式中，应用公式法解题。公式如下：AUBUC=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC，根据题意可得，至少选修一门课程的有40+36+30-28-26-24+20=48人，则三门均未选的有50-48=2人。

　　方法二：读完题干可以发现，“选修甲、乙、丙课程”在题中是并列关系，那么表示其数目的40、36、30三个数字只能用加法处理，等于106;“兼选甲、乙、丙其中两门课程”在题中是并列关系，那么表示其数目的28、26、24三个数字只能用加法处理，等于78。这样原本题中的8个数字就变为4个(50、106、78、20)，而这4个数字之间也只能作和或者作差，那么得到结果的尾数必为“2”或“8”。观察选项，发现只有B项尾数是2，因此，本题答案确定就是B项。这样应用尾数的思想成功实现了“秒杀”。

　　例2：某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的建筑防水卷材产品有( )种。

　　A.37 B.36 C.35 D.34

　　【答案】D。解析：读完题干，发现题干所给数据不是公式所需的，不能直接代入公式，那么利用文氏图解题。如图，如果该图形中包含的不合格产品种数按8+10+9计算，那么灰色部分包含的种数被重复计算了一次，黑色部分包含的种数被重复计算了两次，所以至少有一项不合格的有(8+10+9)-7-2×1=18种，所以三项全部合格的有52-18=34种。

（编辑：九茶汐子）