1. 有三条彩带，一条长36米，一条长48米，一条长24米的。现在要把它们裁剪成同样长的小段，且不能有剩余，则每段最长是（ ）米。
A.9
B.12
C.15
D.16
【答案】B
【解析】
第一步，本题考查约数倍数问题。
第二步，要把它们裁剪成同样长的小段，且不能有剩余，即求三者的公约数，最长的长度就是最大公约数，36、48、24的最大公约数为12。
因此，选择B选项。
2. 某高校要对包括211名大一新生和262名高年级学生在内的入党积极分子进行分期培训，要求培训批次尽量少且每批人数相同。若有且只有一批培训对象同时包含大一新生和高年级学生，则该批中有多少名来自大一新生？
A.4
B.25
C.32
D.39
【答案】D
【解析】
第一步，本题考查约数倍数问题。
第二步，某高校共211＋262＝473（人），根据要求人数相同，则每批次人数应该是473的约数，473＝11×43，要求批次尽可能少，可知每批培训43人，分11次完成。有且仅有一批对象同时包含新生与高年级同学，且211÷43＝4…39，可知有39人来自大一新生。
因此，选择D选项。
3. 从360到630的自然数中有奇数个约数的数有（ ）个。
A.25
B.23
C.17
D.7
【答案】D
【解析】
第一步，本题考查约数倍数问题。
第二步，有奇数个约数的数必是完全平方数；如果不是完全平方数，他们的约数都是两两配对，从而约数的个数是偶数（如果a是自然数n的约数，那么
也是n的约数，所以n的约数a与
可以配成一对，只有当n＝a²时，a与
才会相等）。故此题求360到630之间的完全平方数有几个。
第三步，因19²＝361、20²＝400、21²＝441、22²＝484、23²＝529、24²＝576、25²＝625，故从360到630的自然数中有奇数个约数的数有7个。
因此，选择D选项。
4. 用全部156个边长为1的小正方形，最多可以拼成（ ）种形状不同的长方形。
A.4
B.5
C.6
D.7
【答案】C
【解析】
第一步，本题考查约数倍数问题，用枚举法解题。
第二步，小正方形总面积为156×1×1＝156，拼成不同形状的长方形，即枚举不同的长与宽，且满足长×宽＝156，将156进行因式分解，共有以下六种情况：1×156、2×78、3×52、4×39、6×26、12×13，最多可以拼成6种不同的长方形。
因此，选择C选项。
5. M＝29×38×47×56×…×n（每两个连续因数的差均相等），已知数M的末尾连续有12个“0”，则数n的最小值是：
A.470
B.515
C.560
D.1010
【答案】A
【解析】
解法一：
第一步，本题考查约数倍数问题，用枚举法解题。
第二步，10＝5×2，故出现一对5和2，尾数就将出现一个0。每两个数字就将出现1个2，因此5的数量决定尾数0的数量。65是第一个5的倍数，接下来每过5×9＝45个数将继续出现5的倍数。枚举可知：65＝13×5，110＝22×5，155＝31×5，200＝8×5×5，245＝49×5，290＝58×5，335＝67×5，380＝76×5，425＝17×5×5，470＝94×5，此时刚好有12个5，则n的最小值是470。
因此，选择A选项。
解法二：
第一步，本题考查多位数问题。
第二题，由题意可得，每两个连续因数的差均相等都为9，则前十位数字为29，38，47，56，65，74，83，92，101，110，可知尾数为5的数字与偶数相乘后的乘积的尾数为0，110的尾数也为0，则前十个数字相乘的末尾有2个“0”，根据这一规律，可知第11~20位数字为119~200，可得乘积的末尾有3个“0”，第21~30位数字为209~290，可得乘积的末尾有2个“0”，第31~40位数字为299~380，可得乘积的末尾有2个“0”，第41~50位数字为389~470，可得乘积的末尾有3个“0”（尾数为25的数字与两个偶数相乘后可得的乘积的末尾有2个“0”），此时数M的末尾有2＋3＋2＋2＋3＝12个“0”，则数n的最小值为470。
因此，选择A选项。
6. 学院评选奖学金获奖名单时，要参考各位申请人的平时成绩。平时成绩为A的人数占申请人总数的
，平时成绩为B的人数占申请人总数的
，平时成绩为C的占申请人总数的
。如果奖学金申请人共有70多人，申请人中平时成绩低于C的可能有（ ）人。
A.12
B.9
C.6
D.3
【答案】D
【解析】
第一步，本题考查约数倍数问题。
第二步，根据题意“平时成绩为A的人数占申请人总数的20
”，可知总人数为3的倍数；“平时成绩为B的人数占申请人总数的
”，可知总人数为2的倍数；“平时成绩为C的人数占申请人总数的
”，可知总人数为8的倍数；则总人数需满足是24（即3、2、8的公倍数）的倍数，又奖学金申请人共有70多人，所以总人数为72人，则：成绩低于C的人数＝总人数－A－B－C＝72－72×
－72×
－72×
＝72－24－36－9＝3（人）。因此，选择D选项。
7. 能被5整除，又是9的倍数的数是：
A.27
B.36
C.45
D.55
【答案】C
【解析】
第一步，本题考查约数倍数问题。
第二步，能被5整除，又是9的倍数，即这个数是45的倍数（5和9的最小公倍数）。代入选项，只有C选项满足题意。
因此，选择C选项。
8. 有四个不大于20且互不相等的自然数，最大的比最小的大4，且它们的乘积是25740，则其中最小的数是多少？
A.17
B.15
C.13
D.11
【答案】D
【解析】
解法一：
第一步，本题考查约数倍数问题。
第二步，因数分解可得：25740＝2×2×3×3×5×11×13，可以确定其中两个数为11和13（因为11和13是质数，且与其他因数相乘超过20），则结合选项，其中最小的数是11。
因此，选择D选项。
解法二：
第一步，本题考查约数倍数问题，用代入排除法解题。
第二步，由于问其中最小的数是多少，从最小的选项D代入，25740能被11整除，且25740可分解为11×12×13×15，满足题意。
因此，选择D选项。
9. 甲、乙、丙三人绕圆形跑道赛跑。甲跑完一圈要1分钟，乙跑完一圈要1分30秒，丙跑完一圈要1分15秒。现在三个人同时同向从同一地点出发，则（ ）分钟后三人又在出发地相遇。
A.3
B.9
C.10
D.15
【答案】D
【解析】
第一步，本题考查约数倍数问题。
第二步，甲跑完一圈要1分钟，乙跑完一圈要1分30秒，丙跑完一圈要1分15秒，即甲、乙、丙用的时间分别为60秒、90秒、75秒，下一次在出发地相遇时间应为60秒、90秒、75秒的最小公倍数900秒，即15分钟。
因此，选择D选项。
10. 一个四位整数能分别被6、10、15整除，且被这三个数整除时所得三个商的和是315的倍数，问这个数最小是多少？
A.3780
B.5670
C.7560
D.以上都不对
【答案】D
【解析】
第一步，本题考查约数倍数问题。
第二步，设这个四位数为30x（6、10、15的最小公倍数）。则这三个数的商分别为30x÷6＝5x，30x÷10＝3x，30x÷15＝2x，三个数所得商的和为10x，依据题意这三个数是315的倍数。若10x＝315，则解得30x＝945，不是四位数，不符合题意；若10x＝315×2，即有10x＝630，解得30x＝1890，即满足条件的最小四位数是1890。
因此，选择D选项。
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