1. 一个运动员将乒乓球放进两种布袋里，每个大布袋装8个，每个小布袋装5个，如果将75个乒乓球全部装进布袋并且保证每个布袋全部装满，问至少需要多少个布袋？
A.10
B.11
C.12
D.15
【答案】C
【解析】
第一步，本题考查不定方程问题。
第二步，根据题意，需要的袋子尽可能少，可知大布袋尽可能多用，且每个布袋全部装满，设用大布袋x个，小布袋y个，可列式8x＋5y＝75，由于75为奇数，8y为偶数，故5y为奇数，即5y的尾数为5，则8x的尾数为0，且x最大取5，此时y＝7，故至少需要布袋5＋7＝12（个）。
因此，选择C选项。
2. 超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个？
A.3
B.4
C.7
D.13
【答案】D
【解析】
第一步，本题考查不定方程问题。
第二步，设大、小包装盒各有x、y个，由大盒每个装12个、小盒每个装5个，可知12x＋5y＝99。根据奇偶特性，其中12x为偶数、99为奇数，故5y为奇数，其尾数为5。此时12x尾数为9－5＝4，可得x＝2或x＝7。
第三步，代入验证，当x=2时，y=15，符合共十多个盒子，此时15－2＝13；当x＝7时，y＝3，不符合共十多个盒子（刚好十个）。故两种包装盒相差13个。
因此，选择D选项。
3. 小李参加知识竞赛，需要在规定的时间内回答20题。若回答正确得5分，回答错误扣2分，未作答的不得分也不扣分，最终小李的得分为56分。那么他答错的题有（ ）道。
A.6
B.4
C.3
D.2
【答案】D
【解析】
第一步，本题考查不定方程问题。
第二步，设小李答对x题，答错y题，则根据题意可知5x－2y＝56，且x＋y≤20，根据5的倍数的尾数特性，可知2y的尾数一定为4，结合选项可知y＝2。
因此，选择D选项。
4. 甲、乙、丙三人，在同一公司购得相同种类的货物，甲购得12包帽子、7包上衣、17包裤子，用一个集装箱发回，货款及运费共付1012万元。乙和丙发货时每包运费为2000元，乙购得5包帽子、6包上衣、4包裤子，共付货款及运费453万元。乙和丙付的运费是甲所付运费的3/5，丙每样购得一包，丙付款及运费共多少元？
A.124.6万元
B.88.0万元
C.88.6万元
D.60.5万元
【答案】C
【解析】
第一步，本题考查不定方程问题。
第二步，由题意知，乙丙共买了5＋6＋4＋1＋1＋1＝18（包），由于乙丙每包运费是2000，因此运费为18×2000＝3.6（万元），其中乙的运费为15×2000＝3（万元），丙为0.6万元，他们的运费占甲运费的3/5，可知甲的运费为6万元。设每包帽子、上衣、裤子的货款为x万元，y万元，z万元，根据甲乙的支付款可列方程：12x＋7y＋17z＋6＝1012①，5x＋6y＋4z＋3＝453②，题目求x＋y＋z＋0.6，可用赋零法解题。假设z＝0，方程变为，12x＋7y＝1006①，5x＋6y＝450②，解得x＝78，y＝10，此时x＋y＋z＋0.6＝88.6（万元）。
因此，选择C选项。
5. 某蔬菜供应商用大小卡车往城里运29吨蔬菜，大卡车每辆每次运5吨，小卡车每辆每次运3吨，大小卡车各用几辆正好一次运完，并且使用车辆数量最少？
A.8、9
B.3、3
C.4、3
D.5、6
【答案】C
【解析】
第一步，本题考查不定方程问题。
第二步，设大卡车有x辆，小卡车有y辆。可列方程：5x＋3y＝29。若要数量最小，则x的值尽量大，分析可知x＝4，此时y＝3。
因此，选择C选项。
6. 某超市新进一批鸭梨，经过清点一共198个，需要将其分装在大小两种盒子中，已知大盒装24个，小盒装10个，包装完毕后共使用十几个盒子。问大盒与小盒相差：
A.4个
B.7个
C.9个
D.13个
【答案】D
【解析】
第一步，本题考查不定方程问题，用数字特性法解题。
第二步，设大、小包装盒各有x、y个，由大盒每个装24个、小盒每个装10个，可知24x＋10y＝198，即12x＋5y＝99。根据奇偶特性，其中12x为偶数、99为奇数，故5y为奇数，其尾数为5。此时12x尾数为9－5＝4，可得x＝2或x＝7。
第三步，代入验证，当x=2时，y=15，符合共十多个盒子，此时15－2＝13；当x＝7时，y＝3，不符合共十多个盒子（刚好十个）。故两种包装盒相差13个。
因此，选择D选项。
7. 用大、小两种货车运送货物共计64吨。其中，大货车每车载货10吨，小货车每车载货4吨。假如两种车都用了，都是满载，且本次送货车总数超过10辆，则使用了大货车（ ）辆。
A.2
B.4
C.6
D.7
【答案】A
【解析】
解法一：
第一步，本题考查不定方程问题，用代入排除法解题。
第二步，由于题干要求本次送货车总数需超过10辆，则意味着大货车使用数量尽可能少，按照最值代入原则优先代入A选项，即大货车使用了2辆，那么大货车送货量为2×10＝20（吨），则小货车送货量为64－20＝44（吨），则小货车使用了44÷4＝11（辆），即一共使用了2＋11＝13（辆）车＞10，满足所有条件。
因此，选择A选项。
解法二：
第一步，本题考查不定方程问题，用数字特性法解题。
第二步，设大货车用了x辆、小货车用了y辆，根据题意有10x＋4y＝64（x＋y＞10），根据尾数特性，10x的尾数为0，则4y的尾数为4，则y＝1或者6或者11（y＝16时，则不需要大货车，不符合题意），当y＝1时，解得x＝6，不满足x＋y＞10，排除；当y＝6时，解得x＝4，不满足x＋y＞10，排除；当y＝11时，解得x＝2，满足条件。即大货车使用了2辆。
因此，选择A选项。
8. 买3斤苹果，7斤梨子，1斤芒果，共花费158元，买4斤苹果，10斤梨子，1斤芒果，共花费197元。问买苹果、梨子、芒果各1斤，需要花费（ ）元。
A.70
B.80
C.90
D.100
【答案】B
【解析】
解法一：
第一步，本题考查不定方程问题。
第二步，设苹果、梨和芒果的单价分别为x、y和z。根据题意，代入数据可得：3x＋7y＋z＝158①，4x＋10y＋z＝197②。
第三步，观察两式，可得①×3－②×2＝x＋y＋z＝158×3－197×2＝80。
因此，选择B选项。
解法二：
第一步，本题考查不定方程问题。
第二步，设苹果，梨和芒果的单价分别为x，y和z。根据题意，代入数据可得：3x＋7y＋z＝158①，4x＋10y＋z＝197②；求（x＋y＋z），即求整体，可采用赋“0”法。赋值其中任意未知量为0，观察两式，可知y的系数较大，可赋值y＝0，原式可简化为：3x＋z＝158①，4x＋z＝197②；解得x＝39，z＝41。
第三步，则买苹果、梨子、芒果各1斤，即x＋y＋z＝39＋0＋41＝80。
因此，选择B选项。
9. 某试卷共50题，每题2分，答对得2分，答错扣2分，不答扣1分，韩梅梅共得了83分，她答对了（ ）题。
A.44
B.45
C.46
D.47
【答案】B
【解析】
第一步，本题考查不定方程问题，用代入排除法解题。
第二步，设答对了x道题，y道题未作答，答错了z道题，根据“试卷共50题”，可得方程：x＋y＋z＝50；根据“共得了83分”，可得方程：2x－y－2z＝83，联立消y可得不定方程：3x－z＝133，已知未知项均为正整数，则可得x＞44，因此，排除A选项。
第三步，代入B选项可得，3×45－z＝133，解得z＝2，则y＝3，符合题意。
因此，选择B选项。
10. 现将119个桔子装进两种包装盒，大包装盒每盒装12个桔子，小包装盒每盒装5个桔子，共用了不到20个盒子刚好装完，问两种包装盒共有多少个？
A.13
B.14
C.15
D.17
【答案】B
【解析】
第一步，本题考查不定方程问题。
第二步，根据题意设小包装盒的数量为x，大的包装盒数量为y，则有：5x＋12y＝119，其中119是奇数、12y是偶数，所以5x是奇数，尾数必为5，因此12y的尾数为4，则12y能取的值分别有24和84，当12y＝24时y＝2，x＝19，则总共用了21个包装盒，不合题意；当12y＝84时y＝7，x＝7，则总共用了14个包装盒，符合题意。
因此，选择B选项。
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