一、初等拉灯问题---倍数、约数
例1： 走廊里有10盏电灯，从1到10编号，开始时电灯全部关闭。有10个学生依次通过走廊，第1个学生把所有的灯绳都拉了一下，第2个学生把2的倍数号的灯绳都拉了一下，第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了一下……第10个学生把第10号灯的灯绳拉了一下。假定每拉动一次灯绳，该灯的亮与不亮就改变一次。试判定：当这10个学生通过走廊后，走廊里有多少盏灯是亮的?
A.2
B.3
C.4
D.5
分析：
(1)原来电灯全部关闭，拉一下，亮着;拉两下，灭了;拉三下，亮着。因此，灯绳被拉动奇数次的灯亮着。
(2)可从最简单的情况考虑，把拉过某号的学生号码写出来寻找规律，如1号是第1个学生拉过，4是1,2，4号拉过，6是1,2，3,4号学生拉过，10是1,2，5,10号学生拉过，也就是第i号灯的灯绳被拉的次数就是i的所有约数的个数。由自然数因数分解的性质知，只有当i是平方数时，i的约数的个数才是奇数，所以只有1，4，9号灯亮着。
本题答案：1，4，9号灯亮着，共有3盏灯。选B。
总结：此类拉灯问题比较简单，假如把数字扩大看起来会很麻烦，但思路还是相同的，在做题是要擅长归纳总结，提炼出基本模型。下面看一下数字较大的情况：
例2：一间实验室里有100盏灯，分别编号为1、2、3、……、100号，它们起初都是关着的。现在有学号为1、2、3、……、100号的学生分别走进这间实验室。1号学生把所有的灯的开关都拉了一次;2号学生把偶数号的灯的开关又都拉了一次;3号学生把倍数是3的号数的灯的开关都拉了一次;4号学生把倍数是4的号数的灯的开关都拉了一次;……当这100个学生全部走进了实验室之后，最后亮着的灯有多少盏?( )
A.4
B.6
C.8
D.10
分析：
(1) 原来电灯全部关闭，拉一下，亮着;拉两下，灭了;拉三下，亮着。因此，灯绳被拉动奇数次的灯亮着。
(2) 思路同例1，所有的平方数的灯亮着。1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，10盏灯亮着。
选D。
例3：现在有1000盏灯，全亮，每个灯都由1个拉线开关控制。然后拉开关，规则：
先拉一下1的倍数的开关。(也就是说每个灯都得拉一下)，然后拉2的倍数的开关……
……最后拉1000的倍数的开关，问最后有几盏灯是亮的?( )
A.21
B.31
C.969
D.979
分析：
(1)原来电灯全亮着，拉一下，灭了;拉两下，亮着;拉三下，灭了。因此，灯绳被拉动奇数次的灯灭了。此题先求灭着的灯的数量，再求亮着的灯。
(2)思路同例1，被拉过奇数次的是约数为奇数个的灯，也就是灯号为平方数的灯，
1000以内：最小有1的平方，最大有31的平方。灭掉的灯有31盏，因此亮着灯有1000-31=969盏。
(3)注意：看清本题要求，不能选31，正确答案选C。
(二)拉灯难题—三集合容斥原理型
例4： 有1000盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着。现按其顺序编号为1、2、3、4、5······1000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的电灯有多少盏?( )
A.468
B.499
C.501
D.532
分析：
(1) 原来电灯亮着，拉一下，灭了;拉两下，亮着;拉三下，灭了。因此，灯绳被拉动奇数次的灯灭了。此题先求灭着的灯的数量，再求亮着的灯。
(2) 注意：此题目拉灯的方法不同前三个例题。编号为2的倍数，3的倍数，5的倍数的灯一次都拉。可以据此，看做是三集和问题。
(3) 三个圆圈分别代表：上圆---编号为2的倍数的灯，有500盏;左圆---编号为3的倍数的灯，有333盏灯，右圆---编号为5的倍数的灯，有200盏。其灯的亮或灭情况见图，
(4) 数据计算：即能被2又能被3整除的有1000/6=166个;同理，能被2,5整除的有200个，能被3,5整除的有66个，能同时被2.3.5整除的有33个。请学员把每部分的数据填到上图中，图中四部分灭的灯有：上圆：500-166-100+33=267;左圆：333-166-66+33=134;右圆：200-100-66+33=67;中心灭：33，四部分灭着的灯共有：267+134+67+33=501，所有亮着灯有1000-501=499.选B。
(5) 注意看清题目，501为易错选项。
拉灯问题，题目本身看起来操作繁琐，但是其中蕴含的数学道理不难，我们希望学员们，熟练掌握此类型题目的解决思路，熟能生巧。
